回路-21-2

RCローパスフィルタを電流から考える

せっかく，RC直列回路での電流を計算したので，電流から，各素子間の電圧を求めていきましょう．

今回は，定常状態について考えていきます．

したがって，

　過渡項は考えない

　積分は不定積分

として計算します．

・基本関係式

\(\Large \displaystyle V_C(t) = \frac{1}{ C} \int I(t) \ dt \)　

\(\Large \displaystyle V_L(t) = L \ \frac{d}{ dt} I(t) \)　

\(\Large \displaystyle V_R(t) = R \cdot I(t) \)　

RC直列回路においては，定常状態での電流は，

\(\Large \displaystyle I(t) = \frac{V_0 \ e^{ j \theta}}{ \sqrt{R^2 + \frac{1}{( \omega C)^2}}} \cdot e^{j \omega t} \)　

\(\Large tan \ \theta = \displaystyle \frac {1}{\omega R C }\)　

となります．

・C

\(\Large \displaystyle V_C(t) = \frac{1}{ C} \int \frac{V_0 \ e^{ j \theta}}{ \sqrt{R^2 + \frac{1}{( \omega C)^2}}} \cdot e^{j \omega t} \ dt \)　

\(\Large \displaystyle =\frac{V_0 \ e^{ j \theta}}{ \sqrt{(RC)^2 + \frac{1}{ \omega ^2}}} \cdot \frac{1}{ j \omega} \ e^{j \omega t} \)　

\(\Large \displaystyle =\frac{1}{ j } \ \frac{V_0 \ e^{ j \theta}}{ \sqrt{(\omega RC)^2 + 1}} \cdot \ e^{j \omega t} \)　

\(\Large \displaystyle = - j \ \frac{V_0 \ e^{ j \theta}}{ \sqrt{(\omega RC)^2 + 1}} \cdot \ e^{j \omega t} \)　

ここで，

\(\Large \displaystyle e^{ j \theta} = cos \ \theta + j \ sin \ \theta \)　

\(\Large \displaystyle e^{ j \frac{\pi}{2}} = cos \ \frac{\pi}{2} + j \ sin \ \frac{\pi}{2} = j \)　

\(\Large \displaystyle e^{ j \left(- \frac{\pi}{2} \right)} = cos \ \left(- \frac{\pi}{2} \right) + j \ sin \ \left(- \frac{\pi}{2} \right) = -j \)　

より，

\(\Large \displaystyle V_C(t) = \frac{V_0 \ e^{ j \theta}}{ \sqrt{(\omega RC)^2 + 1}} \cdot \ e^{j (\omega t + \theta -\frac{\pi}{2}) } \)　

ここで，図のように，

\(\Large \theta - \frac{ \pi}{2} = \displaystyle \frac {1}{\omega R C } - \frac{ \pi}{2} = - tan^{-1} (\omega RC)\)　

となるので，

\(\Large \displaystyle V_C(t) = \frac{V_0 \ e^{ j \theta}}{ \sqrt{(\omega RC)^2 + 1}} \cdot \ e^{j (\omega t - \varphi) } \)　

\(\Large \varphi = - tan^{-1} (\omega RC)\)　

となり，ここ，で計算したローパスフィルタと一致します．

・R

\(\Large \displaystyle V_R(t) = R \cdot \frac{V_0 \ e^{ j \theta}}{ \sqrt{R^2 + \frac{1}{( \omega C)^2}}} \cdot e^{j \omega t} \)　

\(\Large \displaystyle = \frac{V_0 \ e^{ j \theta}}{ \sqrt{1 + \frac{1}{( \omega RC)^2}}} \cdot e^{j \omega t}
= \frac{V_0 }{ \sqrt{1 + \frac{1}{( \omega RC)^2}}} \cdot e^{j (\omega t + \theta)} \)　

\(\Large \displaystyle = V_0 \ \frac{\omega RC}{ \sqrt{1 + ( \omega RC)^2}} \cdot e^{j (\omega t + \theta)} \)　

\(\Large tan \ \theta = \displaystyle \frac {1}{\omega R C }\)　

となり，ここ，で計算したハイパスフィルタと一致します．