残クレとは
最近よく聞く言葉，残クレ，主に自家用車のローンでよく宣伝しています．
毎月の支払いを少なめに，高級車に乗れる
などなど．．．．
ChatGTPに聞くと，
balloon payment car loan 最後に大きな残価（balloon payment）が残るローン 残クレの仕組みに最も近い表現
residual value loan 「残価設定ローン」の直訳的表現
PCP (Personal Contract Purchase) plan
と言うようです．
巷で，トヨタの高級ミニバンを見かける機会が増えたのもそのせいかも．．．．（気のせいかも．．）
私が調べた感じで簡単にまとめると
何年後かの残価を指定し（４０％とか），それを差し引いた金額のローンを組む
ということで，毎月の支払い金額を抑えることができます．
しかし，金利は，
車両金額総額の金利（上の例だと，100-40=60%，ではなく100％そのもの）がかかる
ことに注意となります．
また，いろいろな注意点
事故，使い方で残価が変動
などがネットに出ていますが，このサイトでは純粋に金利の数学のみで検討していきましょう．
・元利均等の場合の通常ローンと残クレとの違い
まずは通常ローンの場合との，毎月の支払額，金利について比較していきましょう．
金利（年）：k
金利（月）：x (=k/12)
返済期間（年）：y
返済期間（月）：m (=y×12)
返済金額：s
毎月の返済金額（通常）：W
毎月の返済額（残クレ）：Wz
残 価（％）： α
とします．頭金はなしです
・通常ローンの場合
通常ローンの場合は，ここ，に記したように，
毎月の返済額
\(\Large \displaystyle s = (W - s \cdot x) \frac{(1+x)^{ m} -1}{x} \)
\(\Large \displaystyle W - s \cdot x = \frac{s \cdot x}{(1+x)^{ m} -1}\)
\(\Large \displaystyle W = s \cdot x \left[ \frac{1}{(1+x)^{ m} -1} + 1 \right] \)
\(\Large \displaystyle = s \cdot x \left[ \frac{1 + (1+x)^{ m} -1}{(1+x)^{ m} -1} \right] \)
\(\Large \displaystyle = s \cdot x \left[ \frac{ (1+x)^{ m} }{(1+x)^{ m} -1} \right] \)
\(\Large \displaystyle = \color{red}{\frac{sx}{1-(1+x)^{-m}}} \)
となります．
金利合計
ｎか月目の金利は，
\(\Large \displaystyle s \cdot x \cdot \frac{(1+x)^m - (1+x)^{n-1}}{(1+x)^m - 1} \)
なので，総額は，
\(\Large \displaystyle \sum_{n=1}^m s \cdot x \cdot \frac{(1+x)^m - (1+x)^{n-1}}{(1+x)^m - 1} \)
を計算すればいいことになります．．
\(\Large \displaystyle \sum_{n=1}^m s \cdot x \cdot \frac{(1+x)^m - (1+x)^{n-1}}{(1+x)^m - 1} \)
\(\Large \displaystyle = \frac{s \cdot x}{(1+x)^m - 1}\sum_{n=1}^m \{ (1+x)^m - (1+x)^{n-1} \} \)
第一項は，ｍ倍すればいいので，
第二項を考えると，
\(\Large \displaystyle Y \equiv \sum_{n=1}^m (1+x)^{n-1} = (1+x)^0 + (1+x)^2 + .... + (1+x)^{m-1}\)
\(\Large \displaystyle (1+x) \ Y = (1+x)^1 + (1+x)^3 + .... + (1+x)^{m}\)
\(\Large \displaystyle (1+x) \ Y - Y = (1+x)^{m} -1 \)
\(\Large \displaystyle Y = \frac{ (1+x)^{m} -1}{x} \)
\(\Large \displaystyle \sum_{n=1}^m s \cdot x \cdot \frac{(1+x)^m - (1+x)^{n-1}}{(1+x)^m - 1} \)
\(\Large \displaystyle = \frac{s \cdot x}{(1+x)^m - 1}\{ m \cdot (1+x)^m - \frac{ (1+x)^{m} -1}{x} \} \)
\(\Large \displaystyle = s \cdot x \ \left\{ \frac{m \cdot (1+x)^m}{(1+x)^m - 1} - \frac{ 1}{x} \right\} \)
\(\Large \displaystyle = s \cdot x \ \left\{ \frac{m }{1 - (1+x)^{-m} } - \frac{ 1}{x} \right\} \)
\(\Large \displaystyle = \color{red}{s \ \left\{ \frac{mx }{1 - (1+x)^{-m} } - 1 \right\} }\)
となります．
・残クレの場合
毎月の返済額
残クレの場合には，通常ローンに比べて，左辺の総額が少なくなるだけなので，
\(\Large \displaystyle (1 - \alpha)s = (W_z - s \cdot x) \frac{(1+x)^m -1}{x} \)
\(\Large \displaystyle W_z - s \cdot x =\frac{(1 - \alpha)sx}{(1+x)^m -1} \)
\(\Large \displaystyle W_z =sx \left[ 1 + \frac{(1 - \alpha)}{(1+x)^m -1}\right] \)
\(\Large \displaystyle =sx \left[ \frac{(1+x)^m -1 +1 - \alpha}{(1+x)^m -1}\right] \)
\(\Large \displaystyle =\color{red}{sx \left[ \frac{(1+x)^m - \alpha}{(1+x)^m -1}\right]} \)
となります．
α=0，とすれば，通常ローンと同じになるはずですね．．
\(\Large \displaystyle W_{z0} = sx \left[ \frac{(1+x)^m }{(1+x)^m -1}\right] = \frac{sx }{1 - (1+x)^{-m}} \)
金利合計
ｎか月目の金利は，Wを消去する前の式は，ここ，にあるように，
\(\Large \displaystyle s \cdot x - (W - s \cdot x) [(1+x)^{n-1}-1] \)
なので，この式に，Wzを代入すればいいことになります．
\(\Large \displaystyle W_z - s \cdot x = sx \left[ \frac{(1+x)^m - \alpha}{(1+x)^m -1}\right] - s \cdot x \)
\(\Large \displaystyle = sx \left[ \frac{(1+x)^m - \alpha - \{(1+x)^m -1\}}{(1+x)^m -1}\right] \)
\(\Large \displaystyle = sx \left[ \frac{1 - \alpha }{(1+x)^m -1}\right] \)
したがって，ｎか月目の金利は，
\(\Large \displaystyle s \cdot x - sx \left[ \frac{1 - \alpha }{(1+x)^m -1}\right] [(1+x)^{n-1}-1]\)
総額は，n=1からmの総和なので，nを含む項は，
\(\Large \displaystyle Y \equiv \sum_{n=1}^m (1+x)^{n-1} = (1+x)^0 + (1+x)^2 + .... + (1+x)^{m-1}\)
\(\Large \displaystyle (1+x) \ Y = (1+x)^1 + (1+x)^3 + .... + (1+x)^{m}\)
\(\Large \displaystyle (1+x) \ Y - Y = (1+x)^{m} -1 \)
\(\Large \displaystyle Y = \frac{ (1+x)^{m} -1}{x} \)
となるので，
\(\Large \displaystyle m \ s \cdot x - sx \left[ \frac{1 - \alpha }{(1+x)^m -1}\right] \left[ \frac{ (1+x)^{m} -1}{x} - m \right]\)
\(\Large \displaystyle = m \ s \cdot x - sx \left[ \frac{1 - \alpha }{(1+x)^m -1}\right] \left[ \frac{ (1+x)^{m} -1-mx}{x} \right]\)
\(\Large \displaystyle = s \cdot m \cdot x-s (1 - \alpha) \left\{ 1 - \frac{mx }{(1+x)^m -1}\right\} \)
\(\Large \displaystyle = s \cdot m \cdot x-s (1 - \alpha) + s (1 - \alpha) \frac{mx }{(1+x)^m -1} \)
\(\Large \displaystyle = s \cdot m \cdot x \left\{ 1+ \frac{1 - \alpha }{(1+x)^m -1}\right\}-s (1 - \alpha) \)
\(\Large \displaystyle = s \cdot m \cdot x \left\{ \frac{(1+x)^m -1 + 1 - \alpha }{(1+x)^m -1}\right\}-s (1 - \alpha) \)
\(\Large \displaystyle = s \cdot m \cdot x \left\{ \frac{(1+x)^m - \alpha }{(1+x)^m -1}\right\}-s (1 - \alpha) \)
\(\Large \displaystyle = \color{red}{s \left[ m \cdot x \left\{ \frac{(1+x)^m - \alpha }{(1+x)^m -1}\right\}- (1 - \alpha) \right]} \)
となります．．．．けっこう複雑です．．．
金利合計も，α=0，とすれば，通常ローンと同じになるはずですね．．
\(\Large \displaystyle s \left[ m \cdot x \left\{ \frac{(1+x)^m }{(1+x)^m -1}\right\}- 1 \right] = s \ \left\{ \frac{mx }{1 - (1+x)^{-m} } - 1 \right\} \)
では，実際に数値を入れて計算していきましょう．