１７ー１．ステップ関数（RLC回路），初期条件，特に，微分を0としてみる

次は，

　I(0)=I₀, I'(0)=0

という条件で計算したらどうなるか，を計算していきましょう．

これは，（たぶん），電気回路ではなかなか見られない条件かと思います．

（ある電圧を入れて安定した状態から，オフにしたら再現できるかな？）

どちらかというと，

　慣性力・粘性力・弾性力

が働く物理現象としての方が馴染みがあるかもしれません（粘性を無視できない状態での振り子の減衰など）

それぞれの条件について計算していきましょう

・α < ω₀

ここに記したように，平方根内が虚数となるので，

\(\Large \displaystyle \sqrt{ \alpha^2 - \omega_0^2} = j \ \sqrt{ \omega_0^2 - \alpha^2 }\equiv j \ \omega\)

とします．電流は，

\(\Large \displaystyle I(t) = e^{ - \alpha t} \cdot \left[ A \cdot e^{ j \omega t}+ B \cdot e^{ -j \omega t} \right] \)

となります．

初期条件から，

\(\Large \displaystyle I(0) = e^{- \alpha \cdot 0} \cdot \left[ A \cdot e^{ j \omega \cdot 0} + B \cdot e^{ -j \omega \cdot 0} \right] = A+B= I_0 \)

\(\Large \displaystyle I'(t) = - \alpha \ e^{- \alpha t} \cdot \left[ A \cdot e^{ j \omega t} + B \cdot e^{ -j \omega t} \right] + e^{- \alpha t} \cdot j \omega \left[ A \cdot e^{ j \omega t} - B \cdot e^{ -j \omega t} \right] \)

\(\Large \displaystyle I'(0) = - \alpha \ e^{- \alpha \cdot 0} \cdot \left[ A \cdot e^{ j \omega \cdot 0} + B \cdot e^{ -j \omega \cdot 0} \right] + e^{- \alpha \cdot 0} \cdot j \omega \left[ A \cdot e^{ j \omega \cdot 0} - B \cdot e^{ -j \omega \cdot 0} \right] \)

\(\Large \displaystyle= - \alpha (A+B)+j \omega (A-B) \)

\(\Large \displaystyle= j \omega (A-B) = 0 \)

\(\Large \displaystyle A + B = I_0 \)

\(\Large \displaystyle A-B = 0 \)

\(\Large \displaystyle A = \frac{ 1}{2} I_0 \)

\(\Large \displaystyle B = \frac{ 1}{2} I_0 \)

したがって，

\(\Large \displaystyle I(t) = e^{- \alpha t} \cdot \left[ A \cdot e^{ j \omega t} + B \cdot e^{ -j \omega t} \right]\)

\(\Large \displaystyle = \frac{ 1}{2} \cdot I_0 \cdot e^{- \alpha t} \cdot \left[ e^{ j \omega t} + e^{ -j \omega t} \right]\)

\(\Large \displaystyle = I_0 \cdot e^{- \alpha t} \cdot cos \ ( \omega t)\)

よく言われる減衰振動となります．．

実際に，エクセル，でシミュレートしてみましょう．

V₀ : 1 V
R : 10 Ω
L : 0.2 H
C : 0.0001 F

とすると，

\(\Large \displaystyle \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{0.2 \times 0.0001} } = 223.61 \ (1/s) \)

\(\Large \displaystyle \alpha \equiv \frac{10}{2 \times 0.2} = 25 \ (1/s) \)

となり，α < ω0，の条件となります．　

\(\Large \displaystyle \omega = \sqrt{ \omega_0^2 - \alpha^2 } = 222.2 (rad/s) = 35.37 Hz \)

となり，

と減衰振動を再現できます．

つぎは，α < ω₀，です．