１６ー２．電圧で考えてみる（RLC回路）: α < ω₀

まずは，コイルの電圧 ，から

α < ω₀

0 < t < t₀

\(\Large I_1(t) = \displaystyle \frac{V_0}{ \omega L} \cdot e^{- \alpha t} \cdot sin ( \omega t)\)

t0 < t

\(\Large I_2(t) = \displaystyle \frac{V_0}{ \omega L} \left[ e^{- \alpha t} \cdot sin ( \omega t) - e^{- \alpha (t-t_0)} \cdot sin \ \omega (t-t_0) \right] \)

\(\Large \omega = \sqrt{ \omega_0^2 - \alpha^2}\)

V_L　：　コイルの電圧

0 < t < t0

\(\Large I_1(t) = \displaystyle \frac{V_0}{ \omega L} \ e^{- \alpha t} \cdot \ sin ( \omega t)\)

\(\Large V_{L1} = \displaystyle L \ \frac{d}{dt} I_1(t) \)

\(\Large = \displaystyle \frac{V_0}{ \omega }\ \{- \alpha \ e^{- \alpha t} \cdot \ sin ( \omega t) + \omega \ e^{- \alpha t} \cdot \ cos ( \omega t)\} \)

\(\Large = \displaystyle \frac{V_0}{ \omega }\ \ e^{- \alpha t} \cdot\{- \alpha \ sin ( \omega t) + \omega \cdot \ cos ( \omega t)\} \)

ここで，

\(\Large cos \ (x +y) = cos \ x \cdot cos \ y - sin \ x \cdot sin \ y \)

から，

\(\Large V_{L1} = \displaystyle \frac{V_0}{ \omega }\ \ e^{- \alpha t} \cdot\{- \alpha \ sin ( \omega t) + \omega \cdot \ cos ( \omega t)\} \)

\(\Large = \displaystyle \frac{V_0}{ \omega }\ \ e^{- \alpha t} \cdot\ \sqrt{ \alpha^2 + \omega^2} \cdot \{ cos \ \varphi \cdot \ cos ( \omega t) -sin \ \varphi \cdot \ sin ( \omega t)\} \)

\(\Large = \displaystyle \frac{V_0}{ \omega }\ \ e^{- \alpha t} \cdot\ \sqrt{ \alpha^2 + \omega^2} \cdot cos \ (\omega t + \varphi) \)

\(\Large \hspace{40pt} ( tan \ \varphi = \frac{\alpha}{\omega} ) \)

t₀ < t

\(\Large I_2(t) = \displaystyle \frac{V_0}{ \omega L} \left[ e^{- \alpha t} \cdot sin ( \omega t) - e^{- \alpha (t-t_0)} \cdot sin \ \omega (t-t_0) \right] \)

第一項は上の計算と同じなので，第二項について考えます．

\(\Large e^{- \alpha (t-t_0)} \cdot sin \ \omega (t-t_0) \)

\(\Large T \equiv t-t_0 \)

とすると，

\(\Large dT = dt \)

となるので，

\(\Large \displaystyle \frac{d}{dt} =\frac{d}{dT} \frac{dT}{dt} = \frac{d}{dT}\)

となるので計算は同じとなります．

\(\Large V_{L2} = \displaystyle \frac{V_0}{ \omega }\ \sqrt{ \alpha^2 + \omega^2} \cdot\ \left[ e^{- \alpha t}\cdot cos \ (\omega t + \varphi) - e^{- \alpha (t-t_0)}\cdot cos \ \omega (t-t_0) + \varphi) \right] \)

\(\Large \hspace{40pt} ( tan \ \varphi = \frac{\alpha}{\omega} ) \)

となり，ステップオフの場合は，

　第一項　：　最初のステップオンの際の波形（たとえば，0→1）

　第二項　：　t=t₀，において，1→0，のように，逆のステップを入力した波形

なので，ステップオフ後，の波形は，

　ステップオンの波形の残り　＋　マイナスのステップの波形　の和

となるわけです．

実際に，LTspice，でシミュレートしてみましょう．ここ，と同様に，

V₀ : 1 V
R : 10 Ω
L : 0.3 H
C : 0.0001 F

とすると，

\(\Large \displaystyle \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{0.3 \times 0.0001} } = 182.57 \ (1/s) \)

\(\Large \displaystyle \alpha \equiv \frac{10}{2 \times 0.3} = 16.67 \ (1/s) \)

となり，α < ω0，の条件となります．　

\(\Large \displaystyle \omega = \sqrt{ \omega_0^2 - \alpha^2 } = 181.81 (rad/s) = 28.93 Hz \)

となり，LTspiceでシミュレートすると，

となります．式と当てはめてみると，

と一致することがわかります（全領域で）．

青点線，が右辺第二項，で右辺第一項との和が，シミュレーションと一致することがわかります．

次ページは，コンデンサの電圧を考えてみましょう．